Question

已知函数f（x）=ax 3 -4x+4（a∈R）在x=2取得极值．（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于x的

已知函数f（x）=ax 3 -4x+4（a∈R）在x=2取得极值．（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）=ax 3 -4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax 2 -4 因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0 得   a= 1 3 ，经检验符合题意，所以 f(x)= 1 3 x 3 -4x+4 所以f′（x）=x 2 -4=（x+2）（x-2） 令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表： x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为 f(-2)= 28 3 ； 当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为 f(2)=- 4 3 ； 要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为 (-∞，- 4 3 ]∪[ 28 3 ，+∞)