Question

已知抛物线y 2 =4x的焦点为F．（Ⅰ）若倾斜角为 π 3 的直线AB过点F且交抛物线于A，B两点，求

已知抛物线y 2 =4x的焦点为F．（Ⅰ）若倾斜角为 π 3 的直线AB过点F且交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|；（Ⅱ）若过点F的直线交抛物线于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

（I）由题意可得，抛物线的焦点F（1，0），由直线的斜角为 π 3 可知直线AB的斜率为 3 ∴直线AB的方程为y= 3 (x-1) 联立方程 y= 3 (x-1) y 2 =4x 可得，3x 2 -10x+3=0 解可得，x 1 =3或 x 2 = 1 3 由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x 1 +1+x 2 +1= 16 3 （II）设过点F的直线AB得方程为x=ky+1，线段AB中点M（x，y），A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 联立方程 x=ky+1 y 2 =4x 可得y 2 -4ky-4=0 ∴y 1 +y 2 =4k，x 1 +x 2 =k（y 1 +y 2 ）+2=4k 2 +2 由中点坐标公式可得， x= x 1 + x 2 2 =1+2k 2 ， y= y 1 + y 2 2 =2k 消去k可得点M的轨迹方程，y 2 =2（x-1）