Question

在三角形ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3,cosC=(√5/5) (1

在三角形ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3,cosC=(√5/5)
(1)求角B的大小
(2)若C=4，求三角形ABC面积

Answer 1

（1）ps：这里让求角B，B必然是像30度、45度或者60度这样的特殊角，所以可以用三角函数的推导公式求出，不要用计算器投机取巧。

过程：
tanA=sinA/cosA=3
∴sinA=3cosA
sinA^2 +cosA^2=9cosA^2+cosA^2=1
∴ cosA= ±√10/10
∵A∈（0，180），∴sinA>0又tanA=3>0
∴ cosA=√10/10，sinA= 3√10/10
∵ cosC= √5/5 ∴ sinC= 2√5/5
∴ sinB=sin[π-(A+C)]= sin(A+C)=(sinAcosC+cosAsinC)= (3√10/10*√5/5 +√10/10*2√5/5)= √2/2
cosB=cos[π-(A+C)]= -cos（A+C)= -(√10/10*√5/5 - 3√10/10*2√5/5)=√2/2
∴ B=45度

（2）已知三角形的三角一边，可确定三角形的大小。
画出三角形ABC的大致简图。过A作对边a的垂线，记垂足为D。
AD=csinB=2√2
BD=ccosB=2√2
CD=AD/tanC=2AD=4√2
∴a=BD+CD=6√2
∴S△ABC=1/2*AD*a=1/2* 2√2 *6√2=12

追问

你这家伙，哪有那么复杂，简单点

追答

简而言之，就是通过条件，先求出sinA，cosA；sinC，cosC；

(利用：sinA^2+cosA^2=1)

∵ B=180-(A+C) 求出：sinB，cosB

Answer 2

解：
（1）
tanA=sinA/cosA=3
∴sinA=3cosA
sinA^2 +cosA^2=9cosA^2+cosA^2=1
∴ cosA= ±√10/10
∵A∈（0，180），∴sinA>0又tanA=3>0
∴ cosA=√10/10，sinA= 3√10/10
∵ cosC= √5/5 ∴ sinC= 2√5/5
∴ sinB=sin[π-(A+C)]= sin(A+C)=(sinAcosC+cosAsinC)= (3√10/10*√5/5 +√10/10*2√5/5)= √2/2
cosB=cos[π-(A+C)]= -cos（A+C)= -(√10/10*√5/5 - 3√10/10*2√5/5)=√2/2
∴ B=45度
（2）
已知三角形的三角一边，可确定三角形的大小。
画出三角形ABC的大致简图。过A作对边a的垂线，记垂足为D。
AD=csinB=2√2
BD=ccosB=2√2
CD=AD/tanC=2AD=4√2
∴a=BD+CD=6√2
∴S△ABC=1/2*AD*a=1/2* 2√2 *6√2=12