Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③PD= 2 EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

作PH⊥AB于H， ∴∠PHB=90°， ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°， ∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF， ∴四边形BEPH为正方形， ∴BH=BE=PE=HP， ∴AH=CE， ∴△AHP≌△FPE， ∴AP=EF，∠PFE=∠BAP， 故①、②正确， 在Rt△PDF中，由勾股定理，得 PD= 2 PF， ∴PD= 2 CE． 故③正确． ∵点P在BD上， ∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形． ∴△APD是等腰三角形只有三种情况． 故④错误， ∴正确的个数有3个． 故选C．