Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求∠APB的度数；（2）

如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求∠APB的度数；（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．

Answer 1

（1）90°；（2）24cm

试题分析：（1）根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可； （2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案． （1）∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD ∴∠DAB+∠CBA=180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA= （∠DAB+∠CBA）=90°， ∴在△APB中，∠APB=180﹣（∠PAB+∠PBA）=90°； （2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD， ∴∠DAP=∠PAB=∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD=DP=5cm 同理：PC=CB=5cm 即AB=DC=DP+PC=10cm， 在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm， ∴BP= =6cm， ∴△APB的周长是6+8+10=24cm． 点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.