Question

已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量 m =（sinB，1-cosB）与向量

已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量 m =（sinB，1-cosB）与向量 n =（2，0）的夹角θ的余弦值为 1 2 ．（1）求角B的大小；（2）若 b= 3 ，求a+c的取值范围．

Answer 1

（1）△ABC中，因为 m ═（sinB，1-cosB）= 2sin B 2  ?(cos B 2 ，sin B 2 ) ， n =（2，0）， ∴ m ? n = 4sin B 2 cos B 2 ， | m |=2sin B 2 ，| n |=2 ， 所以， cosθ= m ? n | m |?| n | =cos B 2 ．…（4分） 由 cos B 2 = 1 2 ，0＜θ＜π ，可得 B 2 = π 3 ，即 B= 2π 3 ．…（7分） （2）因为 B= 2π 3 ，所以 A+C= π 3 ． 所以 sinA+sinC=sinA+sin( π 3 -A)=sinA+sin π 3 cosA-cos π 3 sinA = 1 2 sinA+ 3 2 cosA=sin( π 3 +A) ． …（10分） 又 0＜A＜ π 3 ，所以 π 3 ＜ π 3 +A＜ 2π 3 ．所以， sinA+sinC∈( 3 2 ，1] ．…（12分） 又 a+c= b sinB (sinA+sinC)=2(sinA+sinC) ， 所以 a+c∈( 3 ，2] ．…（14分）