Question

在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE

在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE．

Answer 1

分析：EF为中位线，所以EF∥BC，又因为∠HFE与∠FHB，∠DEF与∠CDE分别为一组平行线的对角，所以相等，转化为求∴∠FHB=∠CDE

证明：
∵E，F分别为AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；
同理可证∠CDE=∠B，
∴∠DEF=∠B．
又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，
∴HF=BF，
∴∠B=∠BHF，
∴∠HFE=∠B=∠DEF．
即∠HFE=∠DEF．

强调：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定，直角三角形中斜边的中线是斜边边长的一半。

Answer 2

证明：∵E，F分别为AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；
同理可证∠CDE=∠B，
∴∠DEF=∠B．
又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，
∴HF=BF，
∴∠B=∠BHF，
∴∠HFE=∠B=∠DEF．
即∠HFE=∠DEF．