Question

若函数f（x）在定义域内的一个区间[a，b]（a＜b）上函数值的取值范围恰好是[a2，b2]，则称区间[a，b]是函

若函数f（x）在定义域内的一个区间[a，b]（a＜b）上函数值的取值范围恰好是[a2，b2]，则称区间[a，b]是函数f（x）的有关减半压缩区间，若函数f（x）=x?1+m存在一个减半压缩区间[a，b]（b＞a≥1），则实数m的取值范围是（　　）A．（0，12）B．（0，12]C．（12，1]D．（12，1）

Answer 1

f′（x）=

1

2 x?1

＞0；
∴函数f（x）在[a，b]上是增函数；
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[

a?1

+m，

b?1

+m]；
∵[a，b]是f（x）的减半压缩区间；
∴f（x）∈[

a

2

，

b

2

]；
∴

a?1

+m＝

a

2

，

b?1

+m＝

b

2

，即方程

x?1

+m＝

x

2

有两不等实根；
令

x?1

＝t(t≥0)，x=t²+1，所以该方程变成：
t²-2t+1-2m=0，则关于t的一元二次方程有两个不等实根，且两根非负；
∴

△＝4?4(1?2m)＞0 1?2m≥0

，解得0＜m≤

1

2

；
∴实数m的取值范围是：（0，

1

2

]．
故选B．