Question

（2011?遂宁）已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2

（2011?遂宁）已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）CD2=AD?BE．

Answer 1

解答：证明：（1）连接OC               …（1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠OAC
∴∠OCA=∠DAC         …（2分）
∴AD∥OC
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD                                       …（3分）
∴CD是⊙的切线                                 …（4分）

（2）连接BC，延长AC交BE的延长线于M              …（5分）
∵AD⊥DE     BE⊥DE
∴AD∥BE
∴∠M=∠DAC
∵∠DAC=∠BAM
∴∠BAM=∠M
∴BA=BM                                           …（6分）
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴AC=MC
又∵∠M=∠DAC+∠D=∠CEM   AC=MC
∴△DAC≌△MCE
∴DC=EC                                         …（7分）
（若用平行线分线段成比例定理证明，正确得分）
∴∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB
∴△ADC∽△CEB                                   …（8分）
∴

AD

CE

＝

CD

BE

∴CE?CD=AD?BE
∴CD²=AD?BE…（9分）
说明：本题还有其它证法，若正确合理得分．