Question

已知函数f(x)是定义在(0，正无穷)上的增函数,且对于任意实数x,y有f(xy)=f(x)+f(y),当x＞1,fx＞0

若f(2)=1,对于任意实数t,不等式f(t²+1)－f(t²－kt+1)≤2恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

∵f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1) ∴f(1)=0
f(4)=f(2)+f(2)=2
f(2^n)=nf(2)=n
f(x)=f[2^(log2(x)]=log2(x)f(2)=log2(x)
f(t²+1)－f(t²－kt+1)=log2[(t^2+1)/(t^2-kt+1)]≤log2(4)
(t^2+1)/(t^2-kt+1)≤4
t^2+1≤4(t^2-kt+1)
3t^2-4kt+3≥0
16k^2-36≤0
k^2≤9/4
|k|≤3/2