Question

已知数列{an}满足：a1=1，anan+1=2n（n∈N*）．（1）证明：对任意正整数n，an+2an＝2；并求数列{an}的通

已知数列{an}满足：a1=1，anan+1=2n（n∈N*）．（1）证明：对任意正整数n，an+2an＝2；并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，有3（1-λa2n）≤a2n?S2n，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）由?n∈N^*，a_na_n+1=2ⁿ，a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，知?n∈N*，

an+2

an

＝2．…（3分）
故数列{a_2k-1}，{a_2k}都是公比为2的等比数列，…（4分）∵a₁=1，a₁a₂=2，∴a₂=2．…（5分）
知：?k∈N^*，a_2k-1=a₁×2^k-1=2^k-1，a_2k=a₂×2^k-1=2^k．…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式为an＝

2k?1，n＝2k?1 2k，n＝2k

，k∈N*．…（7分）
或an＝

( 2 )n?1，n为正偶数 ( 2 )n， n为正奇数

  
（2）?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，…（8分）
则?n∈N*，S2n＝

n

k＝1

(a2k?1+