Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．[w&^ww~.*zz@step.com]（1）求证：∠BDF=∠F；（2）如果CF＝1，sinA＝ ，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可； （2）由CF＝1，sinA＝ ，在Rt△ABC和Rt△AOC中分别应用锐角三角函数定义求解． （1）如图，连接OE，[来#%源:中国教育^&出版网@] ∵AC与圆O相切， ∴OE⊥AC. ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC. ∴∠1=∠F.  又∵OE=OD， ∴∠1=∠2. ∴∠BDF=∠F. （2）∵sinA＝ ，∴可设BC=3x， AB=5x. 又∵CF=1，∴BF=3x+1. 由（1）得：∠BDF=∠F ，∴BD=BF. ∴BD=3x+1.中国 ∴OE=OB= ， AO=AB﹣OB= .[来] ∵ sinA＝ ， ∴ ，即 ，解得：x= . ∴⊙O的半径为 ．