Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB= ，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠OED=∠F，则易证得结论. （2）由cosB＝ ，设BC=3x，AB=5x，根据OE∥BF，得∠AOE＝∠B，从而 ．因此列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值，进而得到⊙O的半径. （1）如图，连接OE, ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC，即∠OEC＝90 0 . ∵∠ACB＝90 0 ，∴∠OEC＝∠ACB．∴OE∥BC. ∴∠OED＝∠F. ∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE．∴∠F＝∠ODE. ∴BD=BF. （2）∵cosB＝ ，∴设BC=3x，AB=5x. ∵CF=1，∴ . 由（1）知，BD=BF，∴ ．∴ . ∴ , . ∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B。∴ ，即 ，解得 ， . ∴⊙O的半径为 .