Question

如图已知抛物线 的焦点坐标为 ，过 的直线交抛物线 于 两点，直线 分别与直线 ： 相交于 两点．

如图已知抛物线 的焦点坐标为 ，过 的直线交抛物线 于 两点，直线 分别与直线 ： 相交于 两点． (1)求抛物线 的方程；(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

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Answer 1

（1） ；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查抛物线、直线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.第一问，利用抛物线的标准方程，利用焦点坐标求出 ，代入即可；第二问，讨论直线 垂直和不垂直 轴2种情况，当直线 垂直于 轴时，2个三角形相似，面积比为定值，当直线 不垂直于 轴时，设出直线 的方程，设出 四个点坐标，利用直线 与抛物线相交列出方程组，消参得到方程，利用两根之积得 为定值，而面积比值与 有关，所以也为定值. 试题解析：（1）由焦点坐标为  可知 所以 ,所以抛物线 的方程为                      5分 （2）当直线垂直于 轴时， 与 相似， 所以 ,                        7分 当直线与 轴不垂直时，设直线AB方程为 , 设 ， ， ， ， 解 整理得 ，                      9分 所以 ,                                        10分 , 综上                                12分