Question

已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}的部分项ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，（1

已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}的部分项ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，（1）求kn；（2）求k1+2k2+3k3+…+nkn．

Answer 1

（1）设等比数列ak1，ak2，…，akn的公比为q
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁?a₁₇=a₅² 即 a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
 得 a₁d=2d²
∵d≠0∴a₁=2d，q＝

a5

a1

＝3
∵akn＝a1+(kn?1)d＝(kn+1)d，akn＝ak1?qn?1＝2d×3n?1
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n
=（2×3⁰-1）+2×（2×3¹-1）+…+n×（2×3^n-1-1）
=2×（1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1）-（1+2+…+n）
设S_n=1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1，
则3S_n=1×3¹+2×3²+…+n×3ⁿ，
两式相减得：?2Sn＝1+31+32+…+3n?1?n×3n＝(

1

2

?n)×3n?

1

2

∴Sn＝(

n

2

?

1

4

)×3n+

1

4

∴k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n=(n?

1

2

)×3n+

1

2

?

n(n+1)

2