Question

已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是______

已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是______．

Answer 1

当a=0时，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±

3

3

，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＜0，列表如下：

x	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，∴极小值f（

2

a

）=a（

2

a

）³-3（

2

a

）²+1＞0，
化为a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．

Answer 2

考点：函数零点的判定定理
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（
2
a
）＞0，解出即可．

解答：解：当a=0时，f（x）=-3x2+1=0，解得x=±

3

3
，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-
2
a
）=0，解得x=0或x=
2
a
＞0，列表如下：

x （-∞，0） 0 （0，
2
a
）
2
a
（
2
a
，+∞）

f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-
2
a
）=0，解得x=0或x=
2
a
＜0，列表如下：

x （-∞，
2
a
）
2
a
（
2
a
，0） 0 （0，+∞）

f′（x） - 0 + 0 -
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，
∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
∴极小值f（
2
a
）＞0，化为a2＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．
还有中简单的：解当x=0时，f(0)=1，即0不是f(x)的零点
当x≠0时，
令f(x)=0
则ax^3-3x^2+1=0
即ax^3=3x^2-1
即a=-1/x^3+3/x
令t=1/x，则t≠0
即a=-t^3+3t
构造函数y1=a，y2=g(x)=-t^3+3t
令y2'=-3t^2+3
解得t=±1
知y2；在(-∞，-1）是减函数
在(-1,1)上是增函数，
在(1,+∞）是减函数
模拟出y2=-t^3+3t的图像
知当a＜g(-1)=-2时
y1，y2图像的交点满足x0＞0，故（-∞，-2）

Answer 3