Question

已知{an}是递减等比数列，a2=2，a1+a3=5，则a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*）的取值范围是[8，323)[8，323)

已知{an}是递减等比数列，a2=2，a1+a3=5，则a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*）的取值范围是[8，323)[8，323)．

Answer 1

设a_n=a₁q^n-1，
∴a₂=a₁q=2①，a₁+a₃=a₁（1+q²）=5②
①÷②得

q

1+q2

=

2

5

，解得q=2或

1

2

∵{a_n}是递减等比数列，
∴q＜1
∴q=

1

2

③
把③代入①得a₁=4
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₂¹q+a₂¹q³+…+a₂¹q²ⁿ=

a

1 2

[

q(1?q2n)

1?q2

]=

32[1?( 1 2 )2n]

3

∈[8，

32

3

)
故答案为：[8，

32

3

)