Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE∥AD交∠BAF的平分线于点E．（1）求证：四边形ADBE

在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE∥AD交∠BAF的平分线于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADBE是正方形．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC，AD⊥BC，
∵AE是△ABC的外角平分线，
∴∠BAE=

1

2

∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°，
∴AD⊥AE，
∵AD⊥BC，
∴AE∥BC，
又∵BE∥AD，∠DAE=90°，
∴四边形ADBE是矩形；

（2）解：当∠BAC=90°时，四边形ADBE是正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∴AD=BD，
又∵四边形ADBE是矩形，
∴矩形ADBE为正方形．