Question

已知函数f(x)=x³+ax²+1，a∈R.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设函数f(x)在区间(-2/3，-1/3)内是减函数，求a的取值范围。

Answer 1

对f(x)求导，f'(x)=3x²+2ax
1 a=2 ，f(x)=x³＋2x²-4 ,f'(x)=3x²+4x=(3x+4)x
令f'(x)=0 ，得 x=0或x=-4/3.
f'(x)>0 ,函数增区间（-∞，-4/3）U（0，+∞）
f'(x)<0 ,函数增区间（-4/3，0）
函数极小值为f(0)，极小值为f(0)=-4
端点值f(-1)=(-1)³＋2(-1)²-4=-3; f(1)=1³＋2(1)²-4=-1
经过比较，f（x）在[-1，1]上的最小值为f(0)=-4。
2 f'(x)=3x²+2ax=（3x+2a）x
讨论
1 a>0
f'(x)>0 ,函数增区间（-∞，-2a/3）U（0，+∞）
f'(x)<0 ,函数增区间（-2a/3，0）
极大值为f(-2a/3)=(-2a/3)³＋a(-2a/3)²-4=4a³/27-4
极小值f(0)=-4
2 a=0 f'(x)>=0 ,在R上为增函数，无极值。

3 a<0
f'(x)>0 ,函数增区间（-∞，0）U（-2a/3，+∞）
f'(x)<0 ,函数增区间（0，-2a/3）
极大值为f(0)=-4
极小值f(-2a/3)=4a³/27-4
希望对你能有所帮助。

追问

为什么a=2

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+1=x^2(x+a)+1
1）a=0时，f(x)=x^3+1,函数为单调增函数,
a不为0时，
x+a<0, 即 x<-a时为单调减，
x>-a时为单调增，
2）-2/3<x<-1/3时函数为减函数，就是 -a>=-1/3
即a<=1/3