Question

已知：AB ∥ CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．（1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，

已知：AB ∥ CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．（1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，求∠E的度数；（2）如图2，当AD⊥BC时，求∠E的度数；（3）当∠AMB=α°时，直接写出∠E的度数（用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）过E作EF ∥ AB， ∵CD ∥ AB， ∴EF ∥ CD， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE= 1 2 ∠ABC= 1 2 ×40°=20°， ∠CDE= 1 2 ∠BCD= 1 2 ×60°=30°， ∴∠ABE=∠BEF=20°，∠CDE=∠DEF=30°， 则∠BED=∠BEF+∠DEF=50°； （2） 过E作EF ∥ AB， ∵CD ∥ AB， ∴EF ∥ CD， ∴AD⊥BC， ∴∠AMB=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°， ∵AB ∥ CD， ∴∠BAD=∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC=90°， ∴∠BED=∠ABE+∠EDC= 1 2 ∠ABC+ 1 2 ∠ADC= 1 2 ×90°=45°； （3）∵∠AMB=α， ∴∠ABC+∠BAD=180°-α， ∵AB ∥ CD， ∴∠BAD=∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC=180°-α， ∵EF ∥ AB ∥ CD， ∴∠BED= 1 2 （180°-α）=90°- 1 2 α．