Question

选修4-1：几何证明选讲如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，过点C作⊙O的切线与AB延长线交于点P，AD⊥PC交PC

选修4-1：几何证明选讲如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，过点C作⊙O的切线与AB延长线交于点P，AD⊥PC交PC的延长线于D，AD与⊙O相交于点E．（1）求证：PB：PC=DC：AD；（2）若AB=6，BC=3，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：
∵PC与圆O相切于C点，
∴∠CAB=∠PCB
∴△APC∽△CPB．
∴PB：PC=BC：AC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠DCA=90°，
∵AD⊥PC于D
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠CAB．
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴DC：AD=BC：AC．
∴PB：PC=DC：AD．
（2）解：在△ABC中，AB=6，BC=3，
∴AC=3

3

．
由△ACD∽△ABC，以及AD⊥PC于D
∴DC=

3 3

2

，AD=

9

2

．
又由切割线定理得：DC²=AD?DE．
即

27

4

=

9

2

×（

9

2

-AE）
∴AE=3．