【选修4-1：几何证明选讲】已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线
【选修4-1：几何证明选讲】已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（1）求证：...
【选修4-1：几何证明选讲】已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（1）求证：FA∥BE；（2）求证：APPC＝FAAB；（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．
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（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
＝
∵AB=AC，
∴
＝
，变形整理可得
＝
．
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP?CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
∵CP＞0，∴CP=
?1．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
＝
，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
＝
=
．
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
| PA |
| FA |
| PC |
| AC |
∵AB=AC，
∴
| PA |
| FA |
| PC |
| AB |
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP?CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
| 5 |
∵CP＞0，∴CP=
| 5 |
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
| PA |
| FA |
| PC |
| AC |
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
| PA |
| FA |
| PC |
| AC |
| ||
| 2 |
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