Question

选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线

选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若ACAB＝35，求AFDF的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
得∠ODA=∠OAD=∠DAC，…（2分）
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，…（3分）
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线 …（5分）
（2）过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

＝

3

5

，…（6分）
设OD=5x，
则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，
AD²=80x²，
由△AED∽△ADB，
得AD²=AE?AB=AE?10x，
∴AE=8x，…（8分）
又由△AEF∽△DOF，
得AF：DF=AE：OD=

8

5

，
∴

AF

DF

＝

8

5

．…（10分）