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如图,AB=AE,AB垂直AE,AD=AC,AD垂直AC,点M为BC中点,求证DE=2AM
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延长AM至N,使MN=AM,则ABNC是平行四边形。(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 所以∠CAN=∠ANB(两直线平行内错角相等) 由已知得∠EAD+∠BAC=180°(由周角定义及AB⊥AE,AD⊥AC垂直定义) △ABN中, ∠ABN+∠BAN+∠ANB=180°(三角形内角和定理) 所以 ∠ABN+∠BAN+∠CAN=180°(等量代换) 即∠ABN+∠BAC=180°(等量代换) 又∠EAD+∠BAC=180° 所以∠ABN=∠EAD(同角的补角相等) 又BN=AC=AD,BA=AE 所以,△BNA≌△ADE(SAS) 所以,NA=DE(全等三角形对应边相等) 所以,2AM=DE(等量代换)
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解答:证明:延长AM至N,使MN=AM,连接BN,
∵点M为BC的中点,
∴CM=BM,
在△AMC和△NMB中
AM=MN
∠AMC=∠NMB
CM=BM
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴AC=BN,∠C=∠NBM,
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠EAB=∠DAC=90°,
∴∠EAD+∠BAC=180°,
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD,
在△EAD和△ABN中
∵
AE=AB
∠EAD=∠ABN
AD=BN ,
∴△ABN≌△EAD(SAS),
∴DE=AN=2MN.
∵点M为BC的中点,
∴CM=BM,
在△AMC和△NMB中
AM=MN
∠AMC=∠NMB
CM=BM
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴AC=BN,∠C=∠NBM,
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠EAB=∠DAC=90°,
∴∠EAD+∠BAC=180°,
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD,
在△EAD和△ABN中
∵
AE=AB
∠EAD=∠ABN
AD=BN ,
∴△ABN≌△EAD(SAS),
∴DE=AN=2MN.
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