Question

求极限问题

有没有更简单的办法做这题。

Answer 1

分享解法如下。x→0时，[(2+cosx)/3]^x=[1-(1-cosx)/3]^x=e^{xln[1-(1-cosx)/3]}~e^[-x(1-cosx)/3]【∵1-cosx→0，应用“ln(1+x)”的等价无穷小替换】~1-x(1-co sx)/3【再应用“e^x”的等价无穷小替换】。
∴原式=(-1/3)lim(x→0)[1-cosx)/x²【应用洛必达法则】=…=-1/6。

Answer 2

x->0

考虑泰勒公式

cosx = 1-(1/2)x^2 +o(x^2)

(2+cosx)/3 = 1 - (1/6)x^2 +o(x^2)

lim(x->0) (1/x^3){ [(2+cosx)/3]^x -1 }

等价代入

=lim(x->0) (1/x^3){ [ 1 - (1/6)x^2]^x -1}

=lim(x->0) (1/x^3){ e^(-x^3/6) -1]

等价无穷小：  e^(-x^3/6) -1 ~ -(1/6)x^3

=lim(x->0) (1/x^3)[ -(1/6)x^3 ]

=-1/6

Answer 3

解答如下：