Question

（2014?柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到

（2014?柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

Answer 1

（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，

∠A＝∠Q ∠ADP＝∠QPE PD＝PE

，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；

（2）∵△PFD∽△BFP，
∴

PB

BF

＝

PD

PF

，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴

PD

PF

＝

AP

BF

，
∴

AP

BF

=

PB

BF

，
∴PA=PB，
∴PA=

1

2

AB=

1

2

∴当PA=

1

2

时，△PFD∽△BFP．