Question

已知等比数列{an}中，a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等差数列{bn}中，b2=a2，b9=a5，

已知等比数列{an}中，a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等差数列{bn}中，b2=a2，b9=a5，求数列{bn}的通项公式；（3）在（2）问的条件下求数列{anbn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=2，a₄=16，∴2q³=16，解得q=2．
∴an＝2×2n?1＝2n．
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₂=a₂，b₉=a₅，
∴

b1+d＝22 b1+8d＝25

，解得

b1＝0 d＝4

．
∴b_n=0+（n-1）×4=4n-4．
（3）∵an?bn＝(4n?4)?2n=（n-1）?2ⁿ⁺²．
∴Sn＝0+24+2?25+3?26+…+（n-1）?2ⁿ⁺²，
2Sn＝25+2?26+…+(n?2)?2n+2+（n-1）?2ⁿ⁺³，
∴-S_n=2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²-（n-1）?2ⁿ⁺³=

23(2n?1)

2?1

?23?(n?1)?2n+3=2ⁿ⁺³-2⁴-（n-1）?2ⁿ⁺³=（2-n）?2ⁿ⁺³-16．
∴Sn＝16+(n?2)?2n+3．