Question

如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面， C 是圆上的点． (1)求证：平面 PAC ⊥平面 PBC ；(2)若

如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面， C 是圆上的点． (1)求证：平面 PAC ⊥平面 PBC ；(2)若 AB ＝2， AC ＝1， PA ＝1，求二面角 C － PB － A 的余弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)由 AB 是圆的直径，得 AC ⊥ BC ， 由 PA ⊥平面 ABC ， BC ?平面 ABC ，得 PA ⊥ BC . 又 PA ∩ AC ＝ A ， PA ?平面 PAC ， AC ?平面 PAC ， 所以 BC ⊥平面 PAC . 因为 BC ?平面 PBC ， 所以平面 PBC ⊥平面 PAC . (2)过 C 作 CM ∥ AP ，则 CM ⊥平面 ABC . 如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB 、 CA 、 CM 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系． 在Rt△ ABC 中，因为 AB ＝2， AC ＝1，所以 BC ＝ . 因为 PA ＝1，所以 A (0,1,0)， B ( ，0,0)， P (0,1,1)．故 ＝( ，0,0)， ＝(0,1,1)． 设平面 BCP 的法向量为 n 1 ＝( x 1 ， y 1 ， z 1 )，则 所以 不妨令 y 1 ＝1，则 n 1 ＝(0,1，－1)．因为 ＝(0,0,1)， ＝( ，－1,0)， 设平面 ABP 的法向量为 n 2 ＝( x 2 ， y 2 ， z 2 )，则 所以   不妨令 x 2 ＝1，则 n 2 ＝(1， ，0)．于是cos〈 n 1 ， n 2 〉＝ ＝ . 由题图可判断二面角为锐角，所以二面角 C － PB － A 的余弦值为 .