Question

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax+b经过A（-2，0），C（2，8）两点，与y轴交于点D

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax+b经过A（-2，0），C（2，8）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．点E坐标为（0，-2），点P是线段BO上的一个动点，从点B开始以1个单位每秒的速度沿BO向终点O运动；（1）求此抛物线的解析式；（2）设运动时间为t秒，直线PE扫过四边形ABCD的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）能否将△OEB绕平面内某点旋转90°后使得△OEB的两个顶点落在抛物线上？若能，请直接写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∵过点A（-2，0），C（2，8），
∴

a(?2?1)2?a+b＝0 a(2?1)2?a+b＝8

解得

a＝?1 b＝8

．
故此抛物线的解析式为y=-x²+2x+8；

（2）由抛物线的解析式为y=-x²+2x+8可得B（4，0），
∵P（4-t，0），E（0，-2），
设一次函数EP的解析式为y=kx+b，将P（4-t，0），E（0，-2）分别代入解析式得，

(4?t)k+b＝0 b＝?2

，
解得，

k＝ 2 4?t b＝?2

，
一次函数解析式为y=

2

4?t

x-2．
设BC的解析式为y=ax+c，
将C（2，8），B（4，0）代入解析式得，

2a+b＝8 4a+b＝0

，
解得

a＝?4 b＝16

，
函数解析式为y=-4x+16．
将y=-4x+16和y=

2

4?t

x-2组成方程组得，

y＝?4x+16 y＝ 2 4?t x?2

，
解得

x＝ 36?9t 9?2t y＝ 4t 9?2t

，
S=

1

2

×（4-t）×

4t

9?2t

=

2t(4?t)

9?2t

．


（3）分为3种情况，①旋转后OE在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BE在抛物线上．
1、旋转后OE在抛物线上：
设为O′E′，则O′E′平行于x轴，抛物线y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，对称轴x=1，
则x₁=1-

1

2

|OE|=1-1=0，x₂=1+1=2．
则两点为（0，8）、（2，8）．
这时分别：①O′（0，8）、E′（2，8）；
②E′（0，8）、O′（2，8）．
然后分两种情况分别作OO'，EE'的中垂线，其交点即为其旋转中心．
∵OO′的解析式为y=4，易得，EE′的解析式为y=5x-2，则EE′的中点坐标为（1，3），
其中垂线解析式为y=-

1

5

x+b，将（1，3）代入解析式得，b=

16

5

，
则解析式为y=-

1

5

x+

16

5

，当y=4时，x=-4．
旋转中心坐标为（-4，4）．
2、旋转后OB在抛物线上：
OB∥y轴，则O′B′∥x轴，但抛物线y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，不成立．
3、旋转后BE在抛物线上：
BE边旋转90°后所得线段B'E'与BE垂直，直线斜率k_BE=

1

2

，则k_B'E'=-2．
设旋转后B'E'所在直线方程为：y=-2x+m．
抛物线：y=-x²+2x+8，联立，解方程，得：
（x，y）=（2+

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