Question

高中数学题求解。（要有解题思路哦~）？

已知某个抽奖活动，奖品为手机、平板、充电宝；已知抽奖1次中奖的概率为2%（即抽到手机、平板、充电宝其中一个），若中奖，中奖时得到手机的概率为40%、平板40%、充电宝20%。
请问，抽奖200次，至少得到1个手机和1个平板的概率是多少？
难度加深：假设某人抽到1个手机和1个平板后就收手不再抽奖，那么抽奖200次内，得到1个手机和1个平板的概率又是多少？

Answer 1

第（1）问

抽奖200次，至少得到1个手机和1个平板的概率，我们可以倒过来算。

抽奖200次，最多得到1个手机和1个平板的概率。

因此分四种情况，1.抽奖200次，没有中奖的概率；2.抽奖200次，中奖1次，得到1个手机或者1个平板的概率；3.抽奖200次，中奖2次，得到了1个平板和1个手机的概率。

1. 抽奖200次，没有中奖的概率：（1-0.02）^200；

2. 抽奖200次，中奖1次，得到1个手机或者1个平板的概率：【（1-0.02）^199+0.02^1】*（0.4+0.4）

3. 抽奖200次，中奖2次，得到1个手机和1个平板的概率：【（1-0.02）^198+0.02*0.02】*0.4*0.4

4. 最后，得到答案概率，即抽奖200次，至少得到1个手机和1个平板的概率为：1-（1-0.02）^200-【（1-0.02）^199+0.02^1】*（0.4+0.4）-【（1-0.02）^198+0.02*0.02*0.4*0.4】即为答案所得，因为此答案有200和199次方，需要使用计算器得出答案，因此，我把过程写出来，答案自己去算。

第（2）问

假设1个人抽到1个手机或者1个平板后就收手了不再抽奖，那么抽奖200次以内，得到1个手机和1个平板的概率是：

假设，该人第1次中奖后就不抽奖了，那么概率为：0.02*（0.4+0.4）

假设，该人第2次中奖就不抽奖了，那么概率为：（1-0.02）*0.02*（0.4+0.4）

假设，该人第3次中奖就不抽奖了，那么概率为：（1-0.02）^2*0.02*（0.4+0.4）

以此类推：假设，该人第200次中奖然后不抽奖了，那么概率为：（1-0.02）^199*0.02*(0.4+0.4)

所以，计算以上概率总和为：0.02*（0.4+0.4）*【1+（1-0.02）+（1-0.02）^2......+（1-0.02）^199】=0.02*0.8*【1+0.98+0.98^2+......0.98^199】=0.02*0.8*【1+0.98*（0.98^199-1）/（0.98-1）】=0.02*0.8*【1+0.98*（0.98^199-1）/（-0.02）】；

因为此式子也存在198次方，需要使用计算器等工具计算，因此我也只给出完整过程以及部分计算结果，至于最后答案，请自行计算。

Answer 2

用独立重复试验模型。
抽一次奖，得到手机的概率为2%×40%=0.008，
从反面考虑，抽200次奖，没有得到手机的概率为(1-0.008)^200≈0.200601617，
所以抽奖200次，至少得到1个手机的概率≈0.799398382.
同理，抽奖200次，至少得到1个平板的概率≈0.799398382。
于是抽奖200次，至少得到1个手机和1个手机的概率≈0.799398382^2≈0.639037773.
2）设前k-1次抽奖没有得到手机、第k次抽奖得到手机的概率为0.992^(k-1)*0.008,
假设某人抽到1个手机后就收手不再抽奖，那么抽奖200次内，得到1个手机的概率为
∑<k=1,200>0.992^(k-1)*0.008
=0.008×[1-0.992^200]/(1-0.992)
≈0.799398382,
余者仿上。