求解这个不等式是怎么构造辅助函数的？拉格朗日中值定理，求详解
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设x=m/n，由于n＜m为正整数，
则x＞1。
故需要证明
1－1/x＜lnx＜x－1
对于任意x＞1成立。
由拉格朗日中值定理的
lnx=lnx－ln1=(x－1)/(1+θ(x－1))
其中θ∈(0，1)。
因此有
lnx＜x－1。
且由于θ∈(0，1)
(x－1)/(1+θ(x－1))
＞(x－1)/(1+x－1)
=1－1/x
因此lnx＞1－1/x。
综上有
(m－n)/m＜ln(m/n)＜(m－n)/n
则x＞1。
故需要证明
1－1/x＜lnx＜x－1
对于任意x＞1成立。
由拉格朗日中值定理的
lnx=lnx－ln1=(x－1)/(1+θ(x－1))
其中θ∈(0，1)。
因此有
lnx＜x－1。
且由于θ∈(0，1)
(x－1)/(1+θ(x－1))
＞(x－1)/(1+x－1)
=1－1/x
因此lnx＞1－1/x。
综上有
(m－n)/m＜ln(m/n)＜(m－n)/n
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