Question

已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an)，n∈N*.大神们帮帮忙

已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an)，n∈N*. (1)[我已经做好 an=(2n+1)/3] （2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5a+...-a2na2n+1,求a2n-1 - a2n+1及Tn （3）令bn=1/(an-1*an),(n>=2),b1=1,Sn=b1+b2+...bn,若Sn<(m-2004)/2对一切n∈N*成立,求最小正整数m.

Answer 1

（2）：a(2n-1)-a(2n+1)=(4n-1)/3-(4n+5)/3=—4/3 a2n=(4n+2)/3 所以Tn=—4/3[(4*1+2)/3+(4*2+2)/3+(4*3+2)/3+……+(4n+2)/3] =—4/3*[（2n+4)n]/3 =—n(8n+16)/9 补充： (3):bn=1/(an-1*an)=[3/(2n-1)]*[3/(2n+1)]=9/[(2n-1)*(2n+1)] Sn=9*1/2*[1-1/3+1/3-1/5……+1/(2n-1)-1/(2n+1)] =9n/(2n+1) 若Sn<(m-2004)/2，则9n/(2n+1)<(m-2004)/2 因为3≤9n/(2n+1)<4.5 所以(m-2004)/2≥4.5 m≥2013 所以m最小值为2013