Question

已知a是实数,函数f(x)=x²(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最小值。

请不要粘贴作业宝上面的答案。哪个答案不清楚。
请你亲自推算。谢谢。

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

a待定，所以需要讨论
f(x)=x²(x-a)
f'(x)=2x(x-a)+x²=3x²-2ax=x(3x-2a)
当a=0时
f(x)=x³
f'(x)=3x²≥0
f(x)在[0,2]上单调递增
∴f(x)在[0,2]上的最小值=f(0)=0
当a<0时
令f'(x)>0
∴x<2a/3或x>0
∴f(x)增区间是(-∞,2a/3)或(0,+∞)
减区间是(2a/3,0)
∴f(x)在[0,2]上单调递增
∴f(x)在[0,2]上的最小值=f(0)=0
当a>0时
令f'(x)>0

∴x<0或x>2a/3
∴x=2a/3时，f(x)有极小值,x=0时，f(x)有极大值
x属于[0,2]
当2a/3≤2时，即0<a≤3时
f(x)在[0,2]上的最小值=f(2a/3)=-4a³/27
当2a/3>2时，即a>3时
f(x)在[0,2]上的最小值=f(2)=4*(2-a)=8-4a
综上
a≤0时，f(x)在[0,2]上的最小值=0
0<a≤3时，f(x)在[0,2]上的最小值=-4a³/27
a>3时，f(x)在[0,2]上的最小值=8-4a

Answer 2

对函数求导数可得f’ (x) = 3x^2 - 2ax = x(3x – 2a) ,令f’ (x) = 0,对a的值分类讨论
1）当a < 0 ,所以f(x)在 x ∈(-∞,2a/3]上单调递增（导数的值大于0）,在 x ∈[2a/3,0]上单调递减（导数的值小于0）,在 x ∈[0,+∞)上单调递增,所以在[0,2] 上单调递增,f(x)min = f(0) = 0 ；
2）当a = 0 ,f(x) = x3在[0,2] 上单调递增,f(x)min = f(0) = 0 ；
3）当a ≥ 3,f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,而2a/3 ≥ 2,所以f(x)在[0,2] 上调递减,所以f(x)minx = f(2) = 4(2-a) ；
4）当3 > a > 0,f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,在x ∈[2a/3,+∞)上单调递增,也就是f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,在x ∈[2a/3,2]上单调递增,要比较f(0) = 0和f(2) = 4(2 - a)的大小,较小的是函数的最小值,所以f(x)min =f(2) = 4(2 - a) ,当2 < x < 3；f(x)min = f(0) = 0 ,当0 < x ≤ 2
综上所述,.