Question

线代高手来，，为什么网上都说非齐次线性方程组没有基础解系。。但是这n-r+1个无关的解向量又是什么？

设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则
1..x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成：
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)

这就说明非齐方程组有基础解系，而且可以表示所有解啊。。

为什么网上都说非齐没有基础解系？？

Answer 1

虽然任意解都可以表示成这n-r+1个解向量的线性组合,
但是这n-r+1个解向量的线性组合未必是方程组解,
实际上只有k0+k1+...+kn-r = 1时才是方程的解.
在这个意义上这n-r+1个解向量与齐次线性方程组的基础解系性质不同, 不能称为基础解系.

追问

这n-r+1个解向量的线性组合，是非齐方程组的解。。

追答

这n-r+1个解向量的线性组合, 并不总是非齐方程组的解,

当且仅当组合系数的和为1时才是解.

Answer 2

一组向量线性无关，不等于都加上一个向量也线性无关。例如(1.1)(0.1)(2.5)第一个行向量加到后面两个行向量，线性相关，不加则线性无关。你的第一点就错了

Answer 3

你只是举出来了一个特例，而并不是每种情况都是 所以非齐次方程没有基础解析