Question

判断下列直线与圆的位置关系？

⑴直线5x+12y-13=0与圆x²+y²=1；
⑵直线6x-8y+3=0与圆(x-1)²+(y-2)²=4；
⑶直线x+y-4=0与圆x²+y²+2x-1=0.

Answer 1

⑴直线5x+12y-13=0与圆x²+y²=1；

5x+12y-13=0            (1)

x^2+y^2=1               (2)

sub (1) into (2)

x^2 + (13-5x)^2/144 = 1

144x^2 + (13-5x)^2= 144

169x^2 -120x +25 =0

Δ = 120^2 -4(169)(25)=-2500 <0

直线5x+12y-13=0与圆x²+y²=1 不相交

//

⑵直线6x-8y+3=0与圆(x-1)²+(y-2)²=4；

6x-8y+3=0                   (1)

(x-1)^2+(y-2)^2=4       (2)

sub (1) into (2)

(x-1)^2+[(1/8)(6x+3)-2]^2=4

64(x-1)^2+[(6x+3)-16]^2=256

64(x-1)^2+(6x-13)^2=256

100x^2-284x-151 =0

Δ>0

直线6x-8y+3=0与圆(x-1)²+(y-2)²=4 相交于2点

//

⑶直线x+y-4=0与圆x²+y²+2x-1=0.

x+y-4=0                       (1)

x^2+y^2+2x-1=0        (2)

sub (1) into (2)

x^2+y^2+2x-1=0

x^2+(4-x)^2+2x-1=0

2x^2 -6x+15=0

Δ=(-6)^2 -4(2)(15) = -84 <0

直线x+y-4=0与圆x²+y²+2x-1=0 没有相交

Answer 2

（1）圆心到直线的距离 d=|0+0-13| / √(5²+12²) = 1，圆半径 r=1，
因为 d=r，所以直线与圆相切 。
（2）圆心到直线的距离 d=|6-16+3| / √(6²+8²) = 7/10，圆半径 r=2，
因为 d<r，所以直线与圆相交。
（3）圆方程化为 (x+1)²+y²=2，
圆心到直线的距离 d=|-1+0-4| / √(1²+1²) = 5/√2，圆半径 r=√2，
由于 d>r，所以直线与圆相离 。