Question

求教大神，数学偏导数方面的题

求大神详解下第10题

Answer 1

结合物理实例，解说如下：

A、对。
一个方向的偏导数为0，另一个垂直方向的偏导数为常数的情况：
例如平面波，在传播方向上偏导不为0；在垂直于传播的方向上，
处处偏导为0.

如果每处，每处在两个正交方向上的偏导数都为0的话，表示原来
的二元函数其实只是一个常数而已。

B、对。
该选择中的偏导，是方向导数。方向导数的分母中不可以是矢量，
必须是标量。写成矢量，是国内近些年来，乱起炉灶、胡搅蛮缠、
不顾国际惯例的行为之一，是很可耻的混混搅局行为。

方向导数，directional derivative，它是指某一个物理量在某一个
特殊方向的空间变化率。它的最大值的方向是增加得最快的方向，
反方向就有一种对应的力存在，这个力称为driving force，它的
方向可能是具体的物理作用力的方向，也可能是热流、火山熔浆
流动的方向等等。

本选择说明的是，在任意给定的点，在任意方向上的方向导数为0。
这表示，在任何方向上，函数的值都没有变化，就表明原来的二
元函数，其实也仅仅只是一个常数而已。

C、错。
既然是沿着y方向的偏导数为0，也就是沿着y方向没有变化率，无
论y取什么，在y方向上没有变化，也就是跟y无关。

这种情况，就是上面所说的在垂直于平面波前进的方向上，可能同
处于一样高的波峰上（peak，crust），也可能同处于一样低的波
谷上（valley，trough），沿着同一个波峰上或波谷上看下去，没
有任何变化。

但是，这样的观察是有条件的，是在一个固定的 x 的位置上，沿着
y 方向观察所得到的结果；对应于不同的 x，具有不同的函数值。

这就说明了，在固定的 y ，并没有固定的函数值。
这在波动力学上，在 y 方向上看到的是振动 vibration；
　　　　　　　　在 x 方向上看到的是波动 wave。
（这里是针对波的传播方向是沿着 x 方向而言的说法）

D、对。
df 是全微分，total differentiation，这个英文，在中文翻译中没有固定
说法，有时译成全微分，有时译成全导数，随心所欲。

刚刚开始学多元函数时，搞得神经兮兮：
导数是导数，微分是微分；可导就是可导，可微就是可微；
可导不一定可微，可微一定可导；、、、、、
泾渭分明、势不两立。

可是我们越往后学，我们就越不能自圆其说，越不能善始善终。
前倨后恭、前后矛盾、前言不搭后语、牛头不对马嘴的荒唐事，
比比皆是，人为障碍唾手可得。

莘莘学子头悬梁、锥刺股，全是枉然。

在本选择中，
df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy，若 df = 0，势必同时有 ∂f/∂x = 0 和
∂f/∂y = 0。所以，f(x,y) = Constant 常数。这种情况，完全等同于A。