Question

高一数学含参一元二次不等式的解法（含绝对值）

最好能容易理解，过程尽量详细，最好能把作题方法和作题的道理讲明白些（x^2就是x的平方）
题1
x^2-(a+1)x+a>0
题2
2x^2+ax+2<0
题3
不等式(a-2)x^2-2(a-2)x-4<1对于一切实数x恒成立,求a的范围

Answer 1

题1
x^2-(a+1)x+a>0
(x-a)(x-1)>0
讨论：
1。当a>1:
解是：x>a或x<1
2.a<1:
解是：x>1或x<a
3.a=1:
(x-1)^2>0
解是：x不=1的一切实数。

题2
2x^2+ax+2<0

设f(x)=2x^2+ax+2,图像开口向上，不等式小于0，则图像在X轴下方。即图像与X轴有交点。
所以，判别式>0
a^2-4*2*2>0
a>4或a<-4
方程：2x^2+ax+2=0的解是：
x1=(-a+根号(a^2-16))/4
x2=(-a-根号(a^2-16))/4

所以，解是：x2<x<x1

题3
不等式(a-2)x^2-2(a-2)x-4<1对于一切实数x恒成立,求a的范围
(a-2)x^2-2(a-2)x-5<0

同上，设f(x)=(a-2)x^2-2(a-2)x-5,要得对于一切x都有f(x)<0,则必须是：a-2<0,判别式<0同时成立。
判别式 =4（a-2)^2+20(a-2)<0
(a-2)(a-2+5)<0
(a-2)(a+3)<0
-3<a<2
又a-2<0,即a<2
所以，a的范围是：-3<a<2

Answer 2

解：这类题要结合抛物线与直线坐标轴x轴的交点情况。
1.要使x^2-(a+1)x+a>0 对于一切实数x恒成立，则只需
直线方程y=x^2-(a+1)x+a满足（y=Ax^2+Bx+C）
A=1>0,且B^2-4AC<0此时抛物线开口向上，且与坐标轴无交点，所以y>0恒成立。
即:(-(a+1))^2-4*1*a>0 得（a-1）^2<0
但是（a-1）^2是大于或等于零的，所以此时无解。
2.此题因为抛物线y=2x^2+ax+2开口向上，必定会使得y值大于零，所以无论a值如何变，都不可能使得2x^2+ax+2<0对于一切实数x恒成立
3.等价变换为（a-2)x^2-2(a-2)x-5<0
则需使a-2<0 a<2
且[-2(a-2)]^2-4*(a-2)*(-5)<0 -3<a<2
所以答案是 -3<a<2