极限 连续 可导 之间有什么关系？
一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。
对于单元函数 可微和可导是相同的，但对于多元函数则不一样，多元函数中各个偏导函数连续才能推出可微 ，多元函数可微则可以推出各偏导存在、各个方向的方向导数存在。
关于函数的可导导数和连续的关系：
1、连续的函数不一定可导。
2、可导的函数是连续的函数。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右。
扩展资料：
可导的话一定连续，但连续不一定可导。
证连续的一般方法是左极限=右极限，所以如果极限存在的话一定连续，极限存在、连续都不能推出可导。
但反之能推出，证可导的方法除了定义还就是左导-右导；反证这反面的问题很复杂要不断整理才能明白。
多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。
多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。
参考资料来源： 百度百科——极限（数学术语）
参考资料来源：百度百科——连续（数学名词）
参考资料来源：百度百科—— 可导
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2024-04-02 广告
函数可导的充要条件为函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。必要条件为存在极限，且左极限和右极限存在并相等，若不存在极限，则函数在点x0处不可导。函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
函数连续性质：
1、所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。
2、定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。
3、非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。
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