Question

求无穷级数(-1)^n/(2n+1)

可以转化为幂级数，先求导得1/(1+x^2)，然后积分得arctanx，把x=1代入，得到结果π/4
问题是求导的过程中，必须假设|x|<1才能得到1/(1+x^2)，这导致后边不能代入x=1
谁能说清楚？
好啦我来自问自答一下吧

令S(x)=级数(-1)^n/(2n+1)*x^(2n+1)，则S(x)在[-1,1]有定义
可以求得在(-1,1)内S(x)=arctanx
再根据和函数性质，S(x)在x=1左连续，就可以求出S(1)来了
有没有道理！掌声在哪里？

Answer 1

幂级数

∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)

的收敛域为[-1，1]

根据和函数的性质，

S(x)=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)

在[-1，1]上连续，（-1，1）内可导

（-1，1）内，易得：

S'(x)=1/(1+x^2)

积分得到，S(x)=arctanx，

因为1在幂级数的收敛域内，

所以，x=1时，S(x)=arctanx也是成立的。

Answer 2

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 3

如图