Question

已知函数f（x）对任意的实数x均满足f（x+1）+ f（x）=3

（1）问是否存在非零常数T，使得对于任意实数x都有f（x+T）=f（x），若存在，求出这样的一个T的值，若不存在，说明理由。
（2）若x属于[-1,1]，f（x）=x²，试求x属于[3,5]时函数f（x）的解析式
（3）在（2）的条件下求f（1）+f（2）+…+f（n）（n属于N+）关于n的表达式
步骤尽量详细，谢谢

Answer 1

(1) f(x+1)+f(x)=3
将x'=x+1带入上式，f(x+2)+f(x+1)=3
f(x)=3-f(x+1)=f(x+2), T=2
(2)将x'=x-2带入上式， f(x)=f(x-2)=f(x-4)
x属于[3,5]时, x-4属于[-1,1], 所以f(x)=f(x-4)=(x-4)²

(3)f(1)=1²=1, f(2)=(2-2)²=0, f(3)=f(1)=1, f(4)=f(2)=0 .... f(n)=
所以n为奇数时，求和为 =1+0+1+0+...+1= (n+1)/2
所以n为偶数时，求和为 =1+0+1+0+...+0= n/2

追问

请问一下 x'=x-2 是怎么得到的

追答

不是得到，而且令自变量=x-2，题目第一句写了自变量可以是任意实数的