Question

三角形内角所对的边a.b.c成等比数列,求a/b+b/a取值范围

Answer 1

解：

a、b、c成等比数列，则b²=ac，设公比为q，(q>0)

a=b/q，c=bq

|a-c|<b，(a-c)²<b²

a²-2ac+c²<b²

a²+c²<3b²

b²/q² +b²q²<3b²

q⁴-3q²<-1

(q²- 3/2)²<5/4

(3-√5)/2<q²<(3+√5)/2

q>0，√[(3-√5)/2]<q<√[(3+√5)/2]

(√5-1)/2<q<(√5+1)/2

a/b +b/a=1/q +q

1/q +q≥2，当且仅当q=1时，即a=b=c时取等号

令q=(√5-1)/2，则1/q=2/(√5-1)=(√5+1)/2

1/q +q=(√5+1)/2+(√5-1)/2=√5

令q=(√5+1)/2，则1/q=2/(√5+1)=(√5-1)/2

1/q +q=(√5-1)/2 +(√5-1)/2=√5

综上，得：2≤1/q +q<√5

2≤a/b +b/a<√5

a/b +b/a的取值范围为[2，√5)