幂函数的导数公式证明
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f(x)=xⁿ
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx
=x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1)
=nx^(n-1)
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx
=x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1)
=nx^(n-1)
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