Question

如何证明幂函数导数公式【即如何证明当f(x)=x^n时，f'(x)=n*x^(n-1)】？注意：n为全体实数！！！

请一定注意，n是全体实数！！！（ 不能使用二项式定理，否则不正确！！！）请给与详细解答，谢谢。（请严肃对待学术问题，坚决抵制灌水！）若得到满意答案，可给予一定悬赏，谢谢指教！

Answer 1

用等价无穷小的替换:ln(1+t)~t可以证明...请见下图

Answer 2

问题的前提是什么 如果在知道（a*b）"=a"*b+a*b"的前提下，可以这样推导
（x^n）"={x*x^(n-1)]"然后根据前面的计算方法依次推导=x^(n-1)+x*[x^(n-1)]"=x^(n-1)+x*{x^(n-2)+x*[x^(n-2)]"}=x^(n-1)+x^(n-1)+x^2*[x^(n-2)]"
现在观察这个式子 当最后一个单项式到达x^n*[x^(n-n)]"时，此项结果为0 前面正好是有n个x^(n-1)相加，于是得出结果。注意 我这里用"代指的一次导数，因为输入法不合适的问题