Question

f(x)为函数e^(-x)*x^n的n阶导数，证明f(x)恰有n个零点。这个怎么证的呀，跪求

Answer 1

f(x) = e^(-x)*x^n 1. 求f(x)的n阶导数；2. f(x) 有n个零点。
f ' =-e^(-x)x^n+ne^(-x) x^(n-1)=e^(-x) [-x^n+nx^(n-1)] = (n-x) x^(n-1) e^(-x)
f ''=x^(n-2) e^(-x)[(x-n)^2 - n]=[(n-x)^2-n] x^(n-2) e^(-x)
......
f(x) = e^(-x)*x^n =0
e^(-x)恒不为0，只有：x^n=0 此方程根据代数学基本定理，在复数域有n个零点。

追问

这个有点抽象，是我太笨么，能直接用语言叙述解题思路么……

追答

比如说：
2x+4=0 x=-2 一次方程有一个根
x^2-4=0, x1=2 x2=-2 二次方程有两个根
x^3-x=0 x1=0 x2=1 x3=-1 三次方程有三个根
.........
x(x^4-1)=0 x1=0 x2,x3=±1 x4,5=±i 5次方程有五个根：i = √(-1)
...................
n次代数方程有n个根。

追问

可是复根不算零点吧

追答

复根当然算零点！
比如：f(x)=x^2+1=0 解出：x1=i x2=-i 使：f(x1)=f(x2)=0 x1, x2都是f(x)的零点。

追问

我想了下，暂且不说复根，还会有重根，而且仅仅根据乘积的莱布尼兹高阶导数公式就能算出来，那就不算竞赛题了，根据罗尔定理综合数学归纳法，可以证出n个实数域的零点，不过还是谢谢你

Answer 2

由乘积的莱布尼兹高阶导数公式：
f(x)=[e^(-x)*x^n]的n阶导数
=∑(k=0,n)C(n,k)[e^(-x)的k阶导数][x^n的n-k阶导数]
=∑(k=0,n)C(n,k)[(-1)^ke^(-x)][n(n-1)...(k+1)x^k]
=e^(-x)∑(k=0,n)[(-1)^kC(n,k)n(n-1)...(k+1)]x^k
=e^(-x)∑(k=0,n)Akx^k
由f(x)=0，那么∑(k=0,n)Akx^k=0，由于An=C(n,n)(-1)^n不为0，这是一个1元n次方程，故f(x)=0恰有n个根，即f(x)恰有n个零点。