f(x)为函数e^(-x)*x^n的n阶导数,证明f(x)恰有n个零点。这个怎么证的呀,跪求
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f(x) = e^(-x)*x^n 1. 求f(x)的n阶导数;2. f(x) 有n个零点。
f ' =-e^(-x)x^n+ne^(-x) x^(n-1)=e^(-x) [-x^n+nx^(n-1)] = (n-x) x^(n-1) e^(-x)
f ''=x^(n-2) e^(-x)[(x-n)^2 - n]=[(n-x)^2-n] x^(n-2) e^(-x)
......
f(x) = e^(-x)*x^n =0
e^(-x)恒不为0,只有:x^n=0 此方程根据代数学基本定理,在复数域有n个零点。
f ' =-e^(-x)x^n+ne^(-x) x^(n-1)=e^(-x) [-x^n+nx^(n-1)] = (n-x) x^(n-1) e^(-x)
f ''=x^(n-2) e^(-x)[(x-n)^2 - n]=[(n-x)^2-n] x^(n-2) e^(-x)
......
f(x) = e^(-x)*x^n =0
e^(-x)恒不为0,只有:x^n=0 此方程根据代数学基本定理,在复数域有n个零点。
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追问
这个有点抽象,是我太笨么,能直接用语言叙述解题思路么……
追答
比如说:
2x+4=0 x=-2 一次方程有一个根
x^2-4=0, x1=2 x2=-2 二次方程有两个根
x^3-x=0 x1=0 x2=1 x3=-1 三次方程有三个根
.........
x(x^4-1)=0 x1=0 x2,x3=±1 x4,5=±i 5次方程有五个根:i = √(-1)
...................
n次代数方程有n个根。
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由乘积的莱布尼兹高阶导数公式:
f(x)=[e^(-x)*x^n]的n阶导数
=∑(k=0,n)C(n,k)[e^(-x)的k阶导数][x^n的n-k阶导数]
=∑(k=0,n)C(n,k)[(-1)^ke^(-x)][n(n-1)...(k+1)x^k]
=e^(-x)∑(k=0,n)[(-1)^kC(n,k)n(n-1)...(k+1)]x^k
=e^(-x)∑(k=0,n)Akx^k
由f(x)=0,那么∑(k=0,n)Akx^k=0,由于An=C(n,n)(-1)^n不为0,这是一个1元n次方程,故f(x)=0恰有n个根,即f(x)恰有n个零点。
f(x)=[e^(-x)*x^n]的n阶导数
=∑(k=0,n)C(n,k)[e^(-x)的k阶导数][x^n的n-k阶导数]
=∑(k=0,n)C(n,k)[(-1)^ke^(-x)][n(n-1)...(k+1)x^k]
=e^(-x)∑(k=0,n)[(-1)^kC(n,k)n(n-1)...(k+1)]x^k
=e^(-x)∑(k=0,n)Akx^k
由f(x)=0,那么∑(k=0,n)Akx^k=0,由于An=C(n,n)(-1)^n不为0,这是一个1元n次方程,故f(x)=0恰有n个根,即f(x)恰有n个零点。
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