Question

[二次函数与几何图形动点问题--答案] 二次函数和几何图形结合专题训练

Answer 1

二次函数与几何图形

模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线

例如：请在抛物线上找一点p 使得A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有AP //BC （2）当边AC 是对角线时，那么有AB //CP （3）当边BC 是对角线时，那么有AC //BP

1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0) ，B(0，-4) ，C(2，0) 三点. (1)求抛物线的解析式；

(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S. 求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；

(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标

.

2、如图1，抛物线y =-x +2x +3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．

（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

2

（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．

①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？

②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形

分类标准：讨论上下底

例如：请在抛物线上找一点p 使得A 、B 、C 、P 四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有AB //PC （2）当边AC 是底时，那么有AC //BP （3）当边BC 是底时，那么有BC //AP

3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为(0，-2) ，直线

2

y =-x 与边BC 相交于点D ．

3

(1)求点D 的坐标；

2

(2)抛物线y =ax +bx +c 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；

(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

4、已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．

模式3：直角三角形

分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置

例如：请在抛物线上找一点p 使得A 、B 、P 三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况 （1）当∠A 为直角时，AC ⊥AB （2）当∠B 为直角时，BC ⊥BA （3）当∠C 为直角时，CA ⊥CB

5、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3) ，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．

①当线段PQ =

3

AB 时，求tan ∠CED 的值； 4

②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．

6：如图1，直线y =-

4

x +4和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． 3

（1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

① 求S 与t 的函数关系式；

② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

模式4：等腰三角形

分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置

例如：请在抛物线上找一点p 使得A 、B 、P 三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况 （1）当∠A 为顶角时，AC =AB （2）当∠B 为顶角时，BC =BA （3）当∠C 为顶角时，CA =CB

7：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为立，请说明理由；

6

，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成5

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．

8、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 经过点B (12，0) 和C (0，－6) ，对称轴为x ＝2． (1) 求该抛物线的解析式．

(2) 点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t (秒) 和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．

(3) 在(2) 的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

模式5：相似三角形

突破口：寻找比例关系以及特殊角

9、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ⊥AC ，∠B = 45，AD = 2，BC = 6，以BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A 在y 轴上。

（1） 求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式。

（2） 求△ADC 的外接圆的圆心M 的坐标，并求⊙M 的半径。

（3） E 为抛物线对称轴上一点，F 为y 轴上一点，求当ED ＋EC ＋FD ＋FC 最小时，EF 的长。

（4） 设Q 为射线CB 上任意一点，点P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P 、Q ，使得以P 、Q 、C 为顶点的△与△ADC 相似？若存在，直接写出点P 、Q 的坐标，若不存在，则说明理由。

模拟题汇编之动点折叠问题

1. （本题12分）已知二次函数y =x +bx +c 与x 轴交于A （－1，0）、B （1，0）两点. （1）求这个二次函数的关系式；

（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值. （3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？

2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x +bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿C O 翻折，得到四边形POP ′C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

2

2

解：将B 、C 两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1, ∴y=x-3…………1分

将B 、C 两点的坐标代入得：⎨

⎧3b +c =0⎧b =-2

，解得：⎨

⎩c =-3⎩c =-3

2

所以二次函数的表达式为：y =x -2x -3 . …………………3分

（2）存在点P ，使四边形POP C 为菱形. 设P 点坐标为（x ，x 2-2x -3）， PP 交CO 于E. 若四边形POP C 是菱形，则有PC ＝PO . …………………5分 连结PP 则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC=2

∴y =-3. ∴x 2-2x -3=-3 . ………………………………6分

2

2

/

/

//

解得x 1=

2+2-，x 2=（不合题意，舍去） 22

2+，-3）. …………………………9分

22

∴P 点的坐标为（

3. （2012江西模拟）已知抛物线y =-x +3x +4交y 轴于点A ，交x 轴于点B , C （点B 在点C 的右侧）. 过点A 作垂直于y 轴的直线l. 在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P ，过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q . 连接AP . （1）写出A ，B ，C 三点的坐标； （2）若点P 位于抛物线的对称轴的右侧：

①如果以A ，P ，Q 三点构成的三角形与△AOC 相似，求出点P 的坐标；

②若将△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点M . 是否存在点P ，使得点M 落在x 轴上. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

2

C

4. （2012安庆模拟）在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4，M 、N 分别是底边BC 和腰CD 上的两个动点，当点M 在BC 上运动时，始终保持AM ⊥MN 、NP ⊥BC ． (1) 证明：△CNP 为等腰直角三角形；

(2) 设NP ＝x ，当△ABM ≌△MPN 时，求x 的值；

(3) 设四边形ABPN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 取何值时，四边形ABPN 的面积最大，最大面积是多少．

解：（1）过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则四边形ABQD 为平行四边形 DQ=AB=3，BQ=AD=1 ∴QC=DQ △DQC 中∠C=∠QDC =45° ∴Rt △NPC 为等腰Rt △ ………………(4分) （2）∵V ABM ≌V MPN MP=AB=3, BM=NP ∵△NPC 为等腰Rt △

∴PC=NP= x ∴BM=BC－MP －PC=1－x ∴1- x= x ∴ x=

1

2

∴当V ABM ≌V MPN 时，x =

1

………………(8分) 2

（3）S 四边形ABPN =

1112111

(AB+NP) BP=(3+ x )(4－x ) =－x + x+ 6=－( x-) +6.125(11分) 222222

∴当x 取

1

时，四边形ABPN 面积最大，最大面积为6.125. ………………(14分) 2

5. （2012宝应模拟）在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，2），点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF, 设OD ＝t. ⑴ 求tan ∠FOB 的值；

⑵用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ；

⑶是否存在点C, 使以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的B

点的坐标；若不存

在，请说明理由．

(1)作AH ⊥x 轴于H ，交CF 于P ∵A(2,2) ∴AH=OH=2 ∴∠AOB=45° ∴CD=OD=DE=EF=t ∴tan ∠FOB =(2)∵CF ∥OB ∴△ACF ∽△AOB ∴

t 1

= ……………………3分 2t 2

AP CF 2-t t

即 ==

AH OB 2OB

2t 12t

∴S ∆OAB =OB ⋅AH =(0

∴OB =

(3)要使△BEF 与△OFE 相似, ∵∠FEO=∠FEB=90° ∴只要

OE EF OE EF

或 ==

EB EF EF EB

1

t 2

即:BE =2t 或EB =

① 当BE =2t 时, BO =4t , ∴

2t 3

=4t ∴t =0(舍去) 或t = ∴B(6,0) ……………………8分

22-t

1

t 时, 2

5t , 2

② 当EB =

(ⅰ) 当B 在E 的右侧时, OB =OE +EB = ∴

2t 56

=t ∴t =0(舍去) 或t = ∴B(3,0) …………………10分

52-t 2

3

t , 2

(ⅱ) 当B 在E 的左侧时, 如图，OB =OE -EB = ∴

2t 32

=t ∴t =0(舍去) 或t = ∴B(1,0) ……………………12分

32-t 2

⎛5

⎝2

9⎫8⎭

6. （2012广东预测）（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点坐标是 ，－⎪，且经过点A ( 8 , 14 ) . (1)求该抛物线的解析式；

(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；

(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PA +PB 与AC +BC 的大小关系，并说明理由.

2

(第24题图)

5⎫9⎛

解：（1）（4分）设抛物线的解析式为y =a x

-⎪-………………………1分

2⎭8⎝5⎫91⎛

∵抛物线经过A (8, 14) ，∴14＝a 8-⎪-，解得：a = …………2分

2⎭82⎝1⎛5⎫9125

∴y = x -⎪-（或y =x -x +2） …………………………1分

2⎝2⎭822

（2）（4分）令x =0得y =2，∴B (0, 2) ……………………………………1分 令y =0得

2

2

125

x -x +2=0，解得x 1=1、x 2=4………………………2分 22

∴C (1 , 0) 、D (4 , 0 ) …………………………………………………………1分 （3）（4分）结论：PA +PB ≥AC +BC …………………………………1分

理由是：①当点P 与点C 重合时，有PA +PB =AC +BC ………………………………1分

②当点P 异于点C 时，∵直线AC 经过点A (8, 14) 、C (1, 0) ，∴直线AC 的解析式为y =2x -2 ………3分 设直线AC 与y 轴相交于点E ，令x =0，得y =-2， ∴E (0, -2) ，

则点E (0, -2) 与B (0, 2) 关于x 轴对称 ∴BC =EC ，连结PE ，则PE =PB ， ∴AC +BC =AC +EC =AE ， ∵在∆APE 中，有PA +PE >AE

∴PA +PB =PA +PE >AE =AC +BC …………………………………1分 综上所得AP +BP ≥AC +BC ………………………………………………1分 7. ．如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A (－2，－1) ，B (0,7)两点．

(1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当x 为何值时，y ＞0?

(3)在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C 、D 两点(点C 在对称轴的左侧) ，过点C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为F 、E . 当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．

解：解：(1)把A (－2，－1) ，B (0,7)两点的坐标代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得

⎧⎧⎪－4－2b ＋c ＝－1⎪b ＝2⎨，解得⎨. ⎪c ＝7⎪⎩⎩c ＝7

所以，该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋7，

又因为y ＝－x 2＋2x ＋7＝－(x －1) 2＋8，所以对称轴为直线x ＝1. (2)当函数值y ＝0时，

－x 2＋2x ＋7＝0的解为x ＝1±2 2，

结合图象，容易知道1－2 20. (3)当矩形CDEF 为正方形时，设C 点的坐标为(m ，n ) ， 则n ＝－m 2＋2m ＋7，即CF ＝－m 2＋2m ＋7. 因为C 、D 两点的纵坐标相等， 所以C 、D 两点关于对称轴x ＝1对称， 设点D 的横坐标为p ，则1－m ＝p －1， 所以p ＝2－m ，所以CD ＝(2－m ) －m ＝2－2m . 因为CD ＝CF ，所以2－2m ＝－m 2＋2m ＋7， 整理，得m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1或5. 因为点C 在对称轴的左侧，所以m 只能取－1. 当m ＝－1时，

n ＝－m 2＋2m ＋7＝－(－1) 2＋2×(－1) ＋7＝4. 于是，点C 的坐标为(－1,4) ．

8. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s；点Q 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。 ⑴ 求x 为何值时，PQ ⊥AC ；

⑵ 设△PQD 的面积为y(cm2) ，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式； ⑶ 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；

⑷ 探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系，请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程) 。

A

Q

B P

解：⑴∵当Q 在AB 上时，显然PQ 不垂直于AC 。

D C

当Q 在AC 上时，由题意得：BP ＝x ，CQ ＝2x ，PC ＝4－x ， ∴AB ＝BC ＝CA ＝4，∠C ＝600，

若PQ ⊥AC ，则有∠QPC ＝300，∴PC ＝2CQ 4∴4－x ＝2×2x ，∴x ，

5

4

∴当x ＝ (Q在AC 上) 时，PQ ⊥AC ；

5

⑵ 当0＜x ＜2时，P 在BD 上，Q 在AC 上，过点Q 作QH ⊥BC 于H ， ∵∠C ＝600，QC ＝2x ，∴QH ＝QC ×sin6003x 1

∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝BC ＝2

2

113

∴DP ＝2－x ，∴y ＝ PD ·QH (2－x) ·3x ＝－x 2＋3x

222⑶ 当0＜x ＜2时，在Rt △QHC 中，QC ＝2x ，∠C ＝600， ∴HC ＝x ，∴BP ＝HC ∵BD ＝CD ，∴DP ＝DH ，

∵AD ⊥BC ，QH ⊥BC ，∴AD ∥QH ，

∴OP ＝OQ ∴S △PDO ＝S △DQO ， ∴AD 平分△PQD 的面积；

⑷ 显然，不存在x 的值，使得以PQ 为直径的圆与AC 相离 416

当x ＝时，以PQ 为直径的圆与AC 相切。

55

441616

当0≤x ＜x ＜或x ≤4时，以PQ 为直径的圆与AC 相交。

5555

9. 已知抛物线y =-x 2+2(k -1) x +k +2与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在x 轴的负半轴 上，点B 在x 轴的正半轴上． （1）求实数k 的取值范围；

（2）设OA 、OB 的长分别为a 、b ，且a ∶b ＝1∶5，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，以AB 为直径的⊙D 与y 轴的正半轴交于P 点，过P 点作⊙D 的 切线交x 轴于E 点，求点E 的坐标。

解：（1）设点A （x 1，0），B （x 2，0）且满足x 1＜0＜x 2 由题意可知x 1⋅x 1=-(k +2)-2

（2）∵a ∶b ＝1∶5，设OA =a ，即-x 1=a ，则OB =5a ，即x 2=5a ，a >0

⎧x 1+x 2=-a +5a =4a ⎧2(k -1)=4a

⎨⎨22

()-k +2=-5a x ⋅x =-a ⋅5a =-5a

∴⎩12，即⎩

2

∴k =2a +1，即5a -2a -3=0，解得a 1=1，

a 2=-

3

5（舍去）

2

y =-x +4x +5 k =3∴ ∴抛物线的解析式为

2

（3）由（2）可知，当-x +4x +5=0时，可得x 1=-1，x 2=5

即A （－1，0），B （5，0） ∴AB ＝6，则点D 的坐标为（2，0） 当PE 是⊙D 的切线时，PE ⊥PD

由Rt △DPO ∽Rt △DEP 可得PD =OD ⋅DE 即3=2⨯DE ∴

2

2

DE =

99

-

2，故点E 的坐标为（2，0）

10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．

解：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程

⎧4a +c =0⎧a =12

∴⎨ 解之得：⎨；故y =x -4为所求 ……4分 ⎩a +c =-3⎩c =-4

（2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点

⎧2k +b =0设BD 的解析式为y =kx +b ，则有⎨，

-k +b =-3⎩⎧k =1

， ⎨b =-2⎩

故BD 的解析式为y =x -2；令x =0, 则y =-2，故M (0,-2) ……8分

(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，∠AMB =90 易知BN=MN=1，

易求AM =BM =

1

S ABM =⨯=2；设P (x , x 2-4) ，

2

依题意有：

11

AD x 2-4=4⨯2，即：⨯4x 2-4=4⨯2

22

解之得：x =±，x =0，故 符合条件的P 点有三个：

P 14), P 2(-4), P 3(0,-4) ……12分

11. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（﹣4，0），点B 的坐标是（0，b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P´（点P´不在y 轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P 的横坐标为a ． （1）当b=3时， ①求直线AB 的解析式；

②若点P′的坐标是（﹣1，m ），求m 的值；

（2）若点P 在第一象限，记直线AB 与P´C的交点为D ．当P´D：DC=1：3时，求a 的值；

（3）是否同时存在a ，b ，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a ，b 的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）①设直线AB 的解析式为y=kx+3，把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，∴k=错误！未找到引用源。， ∴直线的解析式是：y=错误！未找到引用源。x+3， ……3分

②由已知得点P 的坐标是（1，m ），∴m=错误！未找到引用源。×1+3=错误！未找到引用源。； ……4分 （2）∵PP′∥AC ，△PP′D∽△ACD ，∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，∴a=错误！未找到引用源。； ……6分 （3）以下分三种情况讨论． ①当点P 在第一象限时，

1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1） 过点P′作P′H⊥x 轴于点H ．

∴PP′=CH=AH=P′H=错误！未找到引用源。AC ． ∴2a=错误！未找到引用源。（a+4） ∴a=错误！未找到引用源。

∵P′H=PC=错误！未找到引用源。AC ，△ACP ∽△AOB （24题图1）

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

∴b=2 ……8分 2）若∠P′AC=90°，P′A=CA （如图2） 则PP′=AC ∴2a=a+4

∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP ∽△AOB

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=1，即错误！未找到引用源。=1 ∴b=4 ……10分 3）若∠P′CA=90°，

则点P′，P 都在第一象限内，这与条件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C 为直角顶点的等腰直角三角形．

②当点P 在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形； ③当P 在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形． ∴所有满足条件的a ，b 的值为

错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。 ……12分

12.

21