Question

设不等式mx^2-2x-m+1<0对于满足m的绝对值≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。

高中数学

Answer 1

买大送小~~~~~

mx²-2x-m+1<0
m(x²-1)<2x-1

1、x²-1>0，x<-1或x>1时
m<(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
即(2x-1)/(x²-1)>2恒成立
2x-1>2(x²-1)
2x²-2x-1<0
(1-√3)/2<x<(1+√3)/2
所以1<x<(1+√3)/2

2、x²-1<0，-1<x<1时
m>(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
即(2x-1)/(x²-1)<-2恒成立
2x-1>-2(x²-1)
2x²+2x-3>0
x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2
所以(-1+√7)/2<x<1

3、x=1时，m-2-m+1=-1<0，恒成立；x=-1时，m+2-m+1>0，不成立

综合三种情况得，(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2

Answer 2

设f(m)=mx^2-2x-m+1，则f(m)是一个以m为自变量的一次函数
满足m=2或-2时 f(m)<0
得方程组2x^2-2x-2+1<0
-2x^-2x+2+1<0
解以上两个方程组取交集得 x属于(-1+√7/2,1+√3/2)
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