Question

函数f(x)n–1阶可导,且在x=x0点前n-1阶导数等于零，第n阶导数不存在,则x=x0

函数f(x)n–1阶可导,且在x=x0点前n-1阶导数等于零，第n阶导数不存在,则x=x0是f(x)的极值点还是拐点？

Answer 1

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+……+fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o(x-x0)^n
=fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o（(x-x0)^n）
n为偶数,则(x-x0)^n>=0.fn(x0)>0 则x0附近f(x)>=f(x0),为极小值；fn(x0)<0显然f(x)<=f(x0),极大.
n为奇数时,显然(x-x0)^n在x0附近变号,由于(x-x0)^n在x0处是拐点,故x0是f(x)拐点.
ps：关于(x-x0)^n在x0处是拐点,等价于x^n在0处是拐点.只需证明x^n在0两边凹凸性不同.
易知x>0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2>[(x1+x2)/2]^n；
x<0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2<[(x1+x2)/2]^n.事实上,令这时x1=-x3,x2=-x4,即转化为x>0的情况.
以下给出x>0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2>[(x1+x2)/2]^n的证明：
取对数,等价于证明f(x1)=ln(x1^n+x2^n)-ln2-nln[x1+x2]+nln2
f'=nx2[x1^(n-1)-x2^(n-1)]/[x1^n+x2^n]
明显f在(0,x2)递减,在(x2,+∞)递增.故f(x)>f(x2)=0 (x≠x2)