Question

不定积分的结果为什么不是原函数

Answer 1

因为不妨默认其＞0，此时得出一个原函数，显然，积分所得的原函数求导后得出被积函数，但求导时并未考虑正负性。 一般情况下求不定积分无需多次考虑，用我们老师的话说，就是考查不定积分考查的是思想，不是分类。

严格来说，必须讨论x的正负，所以正确的结果应该是：

所求=sgn(x)•（x>O时所求的结果）。（具体的细节见最后面的手稿照片）

其中sgn(x)是符号函数，它的取值如下：

x>0时，sgn(x)=1；

x<0时，sgn(x)=-1；

x=0时，sgn(x)=sgn(0)=0。

不定积分解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。