Question

线性代数：施密特正交化和初等变换是否存在本质区别？求前辈指教

线性代数：施密特正交化和初等变换是否存在本质区别？求前辈指教比如求解n维非齐次线性方程，有n阶系数方阵A、未知数列向量x、常数向量b。系数矩阵A的有n个线性不相关的列向量组成，也就是说确立了n维向量空间的基，而经过初等变换后，基也会相应的改变，对应的常数列向量b也会改变，未知数列向量x的值不会影响。但如果经过施密特正交化后得到的标准正交基呢？是不是常数列向量b和未知数列向量x的值都不会改变？

Answer 1

它们的关系是这样子的，施密特正交化每一步都是初等变换，所以施密特正交化是求一种特殊类型的矩阵的初等变换法。

追答

可以这么理解，比如去第三列正交化，观察它的式子，发现就是减去第一列和第二列某某倍，也就是初等列变换。

所以常数列b当然变化，但也可能和之前一样。抽象的可能，我们可取二阶矩阵进行演算，发现确实变化了。

所以常数列b当然变化，但也可能和之前一样。抽象的可能难以想象，我们可取二阶矩阵进行演算，发现确实变化了。

一开始话说的不好，sorry

追问

那为什么提倡把基变成标准正交基呢？虽然可以用内积的方法求x向量，但是b也在变化啊，b也要经过初等变换，那还不如直接变换成行最简来的快

明白了，谢谢！

追答

标准正交基是正交矩阵，算逆矩阵就是它的转置，很方便。如果一个矩阵A出现重根特征值时，所有特征向量组成矩阵B，B正交化单位化后，就自然而然成为了那个可以使矩阵A相似于对角矩阵的矩阵P，而p的逆就是p的转置，不然即使我们找到了别的p矩阵，算它的逆还是很烦，这样子可以减少计算量，我觉得。

追问

嗯嗯，太感谢了，我说基的正交化为何要放到二次型和相似矩阵这个章节里，而不是向量空间那个章节