Question

证明：（1）函数f（x）=x的平方+1在（—∞，0）上是减函数

（2）函数f（x）=1—x分之1在（-∞，0）上是增函数

Answer 1

方法一（用导函数与单调性的关系）
1.f'(x)=2x<0,所以是减函数
2.f'(x)=1/[（1-x）^2]>0,所以是增函数。

方法二（由图像观察法）
1.x^2在（—∞，0）上单减（可由图像），而该函数为x^2图像向上平移一个单位得到
2.该函数为-1/x向右平移一个单位得到。

方法三（直接按定义）
1.x1<x2<0时，
f（x1）-f（x2）=x1^2-x2^2=(x1+x2)(x1-x2)>0
所以
f（x1）>f（x2）
故在（—∞，0）上是减函数。
2.x1<x2<0时
f（x1）-f（x2）=1/(1-x1)-1/(1-x2)=(x1-x2)/[(1-x1)1-x2)]<0
所以
f（x1）<f（x2）
故在（—∞，0）上是增函数。

Answer 2

第一题答案：
解：设x1,x2属于（—∞，0）且x1>x2
f(x1)-f(x2)=（x1的平方+1)-(x2的平方+1)
=x1的平方-x2的平方
=(x1+x2)*(x1-x2)
因为 x1>x2且x1,x2<0
所以 x1-x2>0,x1+x2<0
即 (x1+x2)*(x1-x2)<0
于是 f(x1)<f(x2)
所以 函数f（x）=x的平方+1在（—∞，0）上是减函数
证毕

第二题答案：
解：设x1，x2属于（—∞，0）且x1>x2
f(x1)-f(x2)=(1-1/x1)-(1-1/x2)
=1/x1-1/x2
=(x2-x1)/(x1*x2)
因为 x1>x2
所以 x1-x2>0,x1*x2>0
于是 (x2-x1)/(x1*x2)>0
即 f(x1)>f(x2)
所以 函数f（x）=1—x分之1在（-∞，0）上是增函数
证毕

Answer 3

设x1小于x2，二者都在（—∞，0）范围内
然后f（x1）-f（x2)就可以了

Answer 4

一次导数就好

Answer 5

求导